Question

20．已知函数f（x）=$\frac{b-ax}{x}$+lnx（a、b∈R）．
（1）试讨论函数f（x）的单调区间与极值；
（2）若b＞0且lnb=a-1，设g（b）=$\frac{a-1}{b}$-m（m∈R），且函数g（x）有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，根据b的取值范围，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得函数单调递减区间；
（2）方法一，由题意，求得g（x），求导，利用导数求得函数的单调区间，由函数g（x）有两个零点，需$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}-m＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，即可求得m的取值范围，
方法二：由g（x）=$\frac{lnx}{x}$-m，x＞0，数g（x）有两个零点，即方程lmx-mx=0，在（0，+∞）有两个解，求导，h′（x）=$\frac{1}{x}$-m，根据函数的单调性，即可求得m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{b-ax}{x}$+lnx，求导f′（x）=-$\frac{b}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-b}{{x}^{2}}$（x＞0）…（1分）
①当b≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）单调递增，
所以f（x）的增区间为（0，+∞），无极值；…（3分）
②当b＞0时，x∈（0，b）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，x∈（b，+∞）时函数f（x）单调递增，
所以函数的单调减区间为（0，b），函数的单调增区间为（b，+∞），…（5分）
有极小值f（b）=1-a+lnb，无极大值…（6分）
（2）法一：由b＞0且lnb=a-1，
代入g（b）=$\frac{a-1}{b}$-m，可得：g（b）=$\frac{lnb}{b}$-m  （b＞0）
所以：g（x）=$\frac{lnx}{x}$-m，x＞0，…（7分）
g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，…（8分）
当x∈（0，e）时，g（x）＞0，所以函数g（x）在（0，e）递增，
当x∈（e，+∞）时，g（x）＜0，所以函数g（x）在（e，+∞）递减，
g（x）有极大值g（e）=$\frac{1}{e}$-m，…（10分）
当x→0（x＞0）时，g（x）→-∞，当x→+∞时，g（x）→-m，
故函数g（x）有两个零点，需$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}-m＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，…（11分）
解得：0＜m＜$\frac{1}{e}$，
所以实数m的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．…（12分）
（2）法二：由b＞0且lnb=a-1，代入g（b）=$\frac{a-1}{b}$-m，
可得：g（b）=$\frac{lnb}{b}$-m  （b＞0）
所以：g（x）=$\frac{lnx}{x}$-m，x＞0，…（7分）
由g（x）=0，可得lnx=mx，即lnx-mx=0，
函数g（x）有两个零点，即方程lmx-mx=0，在（0，+∞）有两个解…（8分）
设h（x）=lnx-mx，b＞0，h′（x）=$\frac{1}{x}$-m，…（9分）
①当m≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）单调递增，不合题意，舍去．
②当m＞0时，由h′（x）＞0，得x＜$\frac{1}{m}$，由h′（x）＜0，得x＞$\frac{1}{m}$，
所以h（x）在（0，$\frac{1}{m}$）递增，在（$\frac{1}{m}$，+∞）递减，…（10分）
方程lnx-mx=0，在（0，+∞）有两个解，
只需：h（$\frac{1}{m}$）＞0，即：ln$\frac{1}{m}$-1＞0，…（11分）
解得：0＜m＜$\frac{1}{e}$，
所以实数m的取值范围为：（0，$\frac{1}{e}$）．…（12分）

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查分类讨论思想，属于中档题．