Question

10．已知双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的左右焦点分别为F₁、F₂，过点F₂的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF₁是以A为直角顶点的等腰三角形，则△AF₁F₂的面积为4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知丨AF₂丨=m，丨AF₁丨=2+丨AF₂丨=2+m，由等腰三角形的性质即可求得4=$\sqrt{2}$（2+m），丨AF₂丨=m=2（$\sqrt{2}$-1），丨AF₁丨=2$\sqrt{2}$，由三角的面积公式，即可求得△AF₁F₂的面积．

解答 解：双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1焦点在x轴上，a=1，2a=2，
设丨AF₂丨=m，由丨AF₁丨-丨AF₂丨=2a=2，
∴丨AF₁丨=2+丨AF₂丨=2+m，
又丨AF₁丨=丨AB丨=丨AF₂丨+丨BF₂丨=m+丨BF₂丨，
∴丨BF₂丨=2，又丨BF₁丨-丨BF₂丨=2，
丨BF₁丨=4，
根据题意丨BF₁丨=$\sqrt{2}$丨AF₁丨，即4=$\sqrt{2}$（2+m），m=2（$\sqrt{2}$-1），
丨AF₁丨=2$\sqrt{2}$，
△AF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$•丨AF₂丨•丨AF₁丨=$\frac{1}{2}$×2（$\sqrt{2}$-1）×2$\sqrt{2}$=4-2$\sqrt{2}$，
△AF₁F₂的面积4-2$\sqrt{2}$，
故答案为：4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的定义的应用，考查等腰三角形的性质，考查三角形的面积公式，属于中档题．