Question

2．若0＜a＜2，0＜b＜2，则函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\sqrt{a}{x^2}+2bx-3$存在极值的概率为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 求导，由函数存在极值，则f′（x）=0，存在两个不相等的实根，则△＞0，求得a＞2b，求得阴影部分的面积，利用几何概型概率公式，即可求得答案．

解答 解：由数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\sqrt{a}{x^2}+2bx-3$，求导，f′（x）=x²+2$\sqrt{a}$+2b，
由函数存在极值．则方程x²+2$\sqrt{a}$+2b=0，有两个不相等的实根，
△=4a-4×2b＞0，即a＞2b，

∴由题意可知阴影部分的面积S₁=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
a，b所围成图形的面积S=2×2=4，
∴存在极值的概率S=$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查几何概型概率公式，极值存在的应用，考查计算能力，属于中档题．