Question

14．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x-2a，x＜2\\{log_a}x，x≥2\end{array}\right.$在R上单调递减，则实数a的取值范围是$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$．

Answer 1

分析 根据题意，由函数的单调性的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{2（a-1）-2a≥lo{g}_{a}2}\end{array}\right.$，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x-2a，x＜2\\{log_a}x，x≥2\end{array}\right.$在R上单调递减，
必有$\left\{\begin{array}{l}{a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{2（a-1）-2a≥lo{g}_{a}2}\end{array}\right.$，化简可得$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}2≤-2}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜1，
即a的取值范围是$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$；
故答案为：$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$．

点评 本题考查函数单调性的应用，关键是掌握函数单调性的定义．