Question

3．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P是DD₁的中点．
求证：（1）直线BD₁∥平面PAC
（2）①求异面直线PC与AA₁所成的角．
②平面PAC⊥平面BDD₁．

Answer 1

分析 （1）连接BD，交AC于O，连接PO，由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）①连接PC₁，AA₁∥CC₁，∠C₁CP即为异面直线PC与AA₁所成的角，分别求出△C₁CP的三边，由解三角形即可得到所求角；
②运用正方形的对角线垂直和线面垂直的性质定理，可得AC⊥平面BDD₁B₁，再由面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 （1）证明：连接BD，交AC于O，连接PO，
在△BDD1中，OP为中位线，
可得OP∥BD₁，
又OP?平面PAC，BD₁?平面PAC，
则直线BD₁∥平面PAC；
（2）①连接PC₁，AA₁∥CC₁，
∠C₁CP即为异面直线PC与AA₁所成的角，
在△C₁CP中，C₁C=2，PC=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
PC₁=$\sqrt{{C}_{1}{{D}_{1}}^{2}+P{{D}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
由PC²+PC₁²=CC₁²，可得△C₁CP为等腰直角三角形，
则异面直线PC与AA₁所成的角为45°；
②证明：在底面ABCD中，AB=AD，
即有四边形ABCD为正方形，
可得AC⊥BD，
D₁D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
即有D₁D⊥AC，
D₁D∩BD=D，
可得AC⊥平面BDD₁B₁，
AC?平面PAC，
则平面PAC⊥平面BDD₁．

点评 本题考查线面平行的判定，注意运用中位线定理和线面平行的判定定理，考查异面直线所成角的求法，注意运用平移法，考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．