Question

11．已知函数f（x）=（ax-1）e^x，a∈R，e是自然对数底数．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的极值即可；
（Ⅱ）问题转化为只要ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，分离参数得到$a≥\frac{1}{x+1}$对x∈（0，1]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f'（x）=（ax+a-1）e^x，
所以当a=1时，f'（x）=xe^x，
令f'（x）=0，解得x=0，
所以f（x），f'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

所以x=0时，f（x）取得极小值f（0）=-1，
（Ⅱ）因为f（x）=（ax+a-1）e^x，函数f（x）在区间（0，1）上是单调递增函数，
所以f'（x）≥0对x∈（0，1）恒成立，
又e^x＞0，所以只要ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
要使ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
因为x＞0，所以$a≥\frac{1}{x+1}$对x∈（0，1]恒成立，
因为函数$g（x）=\frac{1}{x+1}$在（0，1）上单调递减，
只要$a≥g（0）=\frac{1}{0+1}=1$，所以a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．