Question

20．已知椭圆E的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是$\sqrt{2}$
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l：y=kx+1（k≠0）与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△BOC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆E的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是$\sqrt{2}$，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．
（2）先由原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出k，再将直线l与椭圆联立，求出B、C坐标，转化求解三角形的面积即可．

解答 解：（1）椭圆E的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是$\sqrt{2}$
∴b=1，c=$\sqrt{2}$，则a=$\sqrt{3}$，
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
（2）设C（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由已知可得：$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．不妨取k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：
x²+$\sqrt{3}$x=0，∴x₁=0，y₁=1，x₂=-$\sqrt{3}$，y₂=0，∴|AB|=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
△BOC的面积：$\frac{1}{2}×2×1$=1．
当k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，所求三角形的面积也是1．

点评 本题考察了椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的性质，解题时要特别注意韦达定理在解题中的重要应用，巧妙地运用设而不求的解题思想提高解题效率．