Question

15．已知双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意可知：四边形PFQF₁为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF₁=90°，在△QPF₁中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．

解答 解：由题意可知：双曲线的右焦点F₁，由P关于原点的对称点为Q，
则丨OP丨=丨OQ丨，
∴四边形PFQF₁为平行四边，
则丨PF₁丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF₁丨，
由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨-丨PF₁丨=2a，
∴丨PF₁丨=a，|OP|=b，丨OF₁丨=c，
∴∠OPF₁=90°，
在△QPF₁中，丨PQ丨=2b，丨QF₁丨=3a，丨PF₁丨=a，
∴则（2b）²+a²=（3a）²，整理得：b²=2a²，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．