Question

7．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点M（-1，0）作直线交椭圆于A，B两点，O是坐标原点，求△OAB的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，利用离心率公式及待定系数法即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式和三角形的面积公式，利用换元法即可求得△OAB的面积的最大值及直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则a²=$\frac{4}{3}$c²，则a²=$\frac{1}{4}$b²，
将点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=4，
∴所求的椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设直线l方程l：x=hy-1
联立，$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}=4\\ x=hy-1\end{array}\right.$
得：（4+h²）y²-2hy-3=0
因为△=16（h²+3）＞0
所以${y_1}+{y_2}=\frac{2h}{{4+{h^2}}}$…（8分）
所以$S=\frac{1}{2}•|{OM}|•|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{△}}}{{4+{h^2}}}=\frac{{2\sqrt{{h^2}+3}}}{{{h^2}+4}}$
令$\sqrt{{h^2}+3}=t≥\sqrt{3}$
则$S=\frac{2t}{{{t^2}+1}}=\frac{2}{{t+\frac{1}{t}}}$在$[\sqrt{3}，+∞）$上单调递减，
当$t=\sqrt{3}$即h=0时，${S_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$此时l：x=-1，

点评 本题考查椭圆标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式，函数的单调性的应用，属于中档题．