Question

5．设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；q：实数x满足$\frac{x-3}{x-2}$＜0．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1，对于p：x²-4x+3＜0，利用一元二次不等式的解法可得实数x的取值范围．由 $\frac{x-3}{x-2}$＜0，化为（x-2）（x-3）＜0，解得实数x的取值范围．若p∧q为真，则p真且q真，即可得出．
（2）设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}=（2，3），由p是q的必要不充分条件，可得B?A，对a分类讨论，即可得出．

解答 解：（1）当a=1，对于p：x²-4x+3＜0，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由 $\frac{x-3}{x-2}$＜0，化为（x-2）（x-3）＜0，解得2＜x＜3，因此q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．
若p∧q为真，则p真且q真，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，∴实数x的取值范围是（2，3）．
（2）设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}=（2，3），
∵p是q的必要不充分条件，∴B?A，
由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
当a＞0时，A=（a，3a），有 $\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2；
当a＜0时，A=（3a，a），显然A∩B=∅，不合题意．
∴实数a的取值范围是1≤a≤2．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．