Question

14．如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形为ABCD矩形，E为SA的中点，SA=SB，AB=2$\sqrt{3}$，BC=3．
（1）证明：SC∥平面BDE；
（2）若BC⊥SB，求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，设AC∩BD=O，由题意可得O为AC的中点，又E为AS的中点，由三角形中位线定理可得SC∥OE，再由线面平行的判定可得SC∥平面BDE；
（2）过E作EH⊥AB，垂足为H，由线面垂直的判定可得BC⊥平面SAB，则EH⊥BC，又EF⊥AB，得到EH⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，求得SM=1．进一步可得EH=$\frac{1}{2}SM=\frac{1}{2}$．再求出三角形BCD的面积利用等体积法求得三棱锥C-BDE的体积．

解答 （1）证明：连接AC，设AC∩BD=O，
∵四边形ABCD为矩形，则O为AC的中点，
在△ASC中，E为AS的中点，∴SC∥OE，
又OE?平面BDE，SC?平面BDE，
∴SC∥平面BDE；
（2）解：过E作EH⊥AB，垂足为H，
∵BC⊥AB，且BC⊥SB，AB∩SB=B，
∴BC⊥平面SAB，
∵EH?平面ABS，∴EH⊥BC，又EF⊥AB，AB∩BC=B，
∴EH⊥平面ABCD，
在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，
∴SM=1．
∵EH∥SM，EH=$\frac{1}{2}SM=\frac{1}{2}$．
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$．
∴V_C-BDE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•EH=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱锥C-BDE的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查直线与平面的位置关系，空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．