Question

3．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-4）=f（x），且在区间[0，2]上f（x）=x，若关于x的方程f（x）=log_a|x|有六个不同的根，则a的范围为（　　）

• A． （$\sqrt{6}$，$\sqrt{10}$）
• B． （$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$）
• C． （2，2$\sqrt{2}$）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 首先求出f（x）的周期是4，画出函数的图象，得到关于a的不等式，解得即可．

解答 解：由f（x-4）=f（x）可得周期等于4，
当x∈（0，10]时，函数的图象如图

f（2）=f（6）=f（10）=2，
再由关于x的方程f（x）=log_a|x|有六个不同的根，则关于x的方程f（x）=log_ax有三个不同的根，
可得$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}6＜2}\\{lo{g}_{a}10＞2}\end{array}\right.$，
解得 a∈（$\sqrt{6}$，$\sqrt{10}$），
故选A．

点评 本题主要考查函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．