Question

13．设命题p：方程$\frac{x^2}{1-2m}+\frac{y^2}{m+3}=1$表示双曲线；命题q：?x₀∈R，使${x_0}^2+2m{x_0}+3-2m=0$
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（3）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当命题p为真命题时，（1-2m）（m+3）＜0，解得m
（2）当命题q为真命题时，△=4m²-4（3-2m）≥0，解得m
（3）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，∴$\left\{\begin{array}{l}-3≤m≤\frac{1}{2}\\-3＜m＜1\end{array}\right.$，解得m

解答 解：（1）当命题p为真命题时，方程$\frac{x^2}{1-2m}+\frac{y^2}{m+3}=1$表示双曲线，
∴（1-2m）（m+3）＜0，解得m＜-3，或m＞$\frac{1}{2}$，
∴实数m的取值范围是{m|m＜-3，或m＞$\frac{1}{2}$}；   …（4分）
（2）当命题q为真命题时，方程${x_0}^2+2m{x_0}+3-2m=0$有解，
∴△=4m²-4（3-2m）≥0，解得m≤-3，或m≥1；
∴实数m的取值范围是{|m≤-3，或m≥1}；…（6分）
（3）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}-3≤m≤\frac{1}{2}\\-3＜m＜1\end{array}\right.$，解得-3＜m≤$\frac{1}{2}$；∴m的取值范围为（-3，$\frac{1}{2}$]．    …（12分）

点评 本题考查了复合命题真假的应用，双曲线的标准方程，特称命题的否定等知识点，难度中档