Question

2．将函数y=sin²x-cos²x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=ksinxcosx（k＞0）的图象关于$（\frac{π}{3}，0）$对称，则k+m的最小正值是2+$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 由题意可得y=-cos（2x-2m）的图象和y=$\frac{k}{2}$sin2x（k＞0）的图象关于点$（\frac{π}{3}，0）$对称，设点P（x₀，y₀）为y=-cos（2x-2m）上任意一点，则该点关于$（\frac{π}{3}，0）$对称点为$Q（\frac{2π}{3}-{x_0}，-{y_0}）$在y=$\frac{k}{2}$sin2x（k＞0）的图象上，故有$\left\{\begin{array}{l}{-cos（{2x}_{0}-2m）{=y}_{0}}\\{\frac{k}{2}sin（\frac{4π}{3}-{2x}_{0}）={-y}_{0}}\end{array}\right.$，求得k=2，且cos（2x₀-$\frac{5π}{6}$）=cos（2x₀-2m），由此求得k+m的最小正值．

解答 解：将函数y=sin²x-cos²x=-cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=-cos2（x-m）=-cos（2x-2m）的图象，
根据所得图象与y=ksinxcosx=$\frac{k}{2}$sin2x（k＞0）的图象关于$（\frac{π}{3}，0）$对称，
设点P（x₀，y₀）为y=-cos（2x-2m）上任意一点，
则该点关于$（\frac{π}{3}，0）$对称点为$Q（\frac{2π}{3}-{x_0}，-{y_0}）$在y=$\frac{k}{2}$sin2x（k＞0）的图象上，故有$\left\{\begin{array}{l}{-cos（{2x}_{0}-2m）{=y}_{0}}\\{\frac{k}{2}sin（\frac{4π}{3}-{2x}_{0}）={-y}_{0}}\end{array}\right.$，
求得k=2，sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）=cos（2x₀-2m），即cos（2x₀-$\frac{5π}{6}$）=cos（2x₀-2m），
∴-2m=-$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，即 2m=$\frac{5π}{6}$-2kπ，k∈Z，故m的最小正值为$\frac{5π}{12}$，
则k+m的最小正值为2+$\frac{5π}{12}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象，两个函数的图象关于某个点对称的性质，属于中档题．