Question

12．已知函数f（x）=（2x+b）e^x，F（x）=bx-lnx，b∈R．
（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；
（2）若b＞0，且g（x）=bx²-2x-F（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导函数，由导函数的符号求得函数的单调区间，再求出函数F（x）的导函数，由b＜0，可得F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，需-$\frac{b}{2}$-1＞0，求解可得b的范围；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间，根据函数的最小值是-2求出b的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=（2x+b）e^x，f′（x）=（2x+b+2）e^x，
∴当x∈（-∞，-$\frac{b}{2}$-1）时，f′（x）＜0，当x∈（-$\frac{b}{2}$-1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的减区间为（-∞，-$\frac{b}{2}$-1），增区间为（-$\frac{b}{2}$-1，+∞），
F（x）的定义域为（0，+∞），且F′（x）=b-$\frac{1}{x}$=$\frac{bx-1}{x}$，
∵b＜0，∴F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，
要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，
则-$\frac{b}{2}$-1＞0，即b＜-2，
∴b的取值范围是（-∞，-2）；
（2）g（x）=bx²-2x-bx+lnx，
g′（x）=$\frac{（2x-1）（bx-1）}{x}$，
x∈[1，e]时，2x-1＞0，
①$\frac{1}{b}$≤1即b≥1时，g′（x）＞0在[1，e]恒成立，
g（x）在[1，e]递增，故g（x）_min=g（1）=-2，符合题意；
②1＜$\frac{1}{b}$＜e即$\frac{1}{e}$＜b＜1时，g（x）在[1，$\frac{1}{b}$）递减，在（$\frac{1}{b}$，e]递增，
故g（x）_min=g（$\frac{1}{b}$）=ln$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{b}$-1，
令h（x）=lnx-x-1，x∈（1，e），
则h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$＜0，
h（x）在[1，e]递减，h（x）＜h（1）=-2，
不合题意；
③$\frac{1}{b}$≥e即0＜b≤$\frac{1}{e}$时，
g（x）在[1，e]递减，g（x）_min=g（e）=（e²-e）b-2e+1，
令h（b）=e（e-1）b-2e+1，显然h（b）在[1，e]递增，
故h（1）＜h（b）＜h（e），
而h（1）＜-2＜h（2），符合题意，
综上b∈（0，$\frac{1}{e}$]∪[1，+∞）．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数、导数、不等式等基础知识，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力，属难题．