Question

17．过M（-1，0）做抛物线C：y²=2px（p＞0）的两条切线，切点分别为A，B．若$\overline{MA}•\overline{MB}=0$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）N（t，0），（t≥1），过N任做一直线交抛物线C于P，Q两点，当t也变化时，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）$\overline{MA}•\overline{MB}=0$⇒MA•MB=90°，由抛物线的对称性可得：K_MA=1，直线l的方程与抛物线方程联立化为：y²-2px+2p=0．利用△=0，即可得出p．
（2）设PQ的方程为：x=my+t，代入抛物线方程可得y²-4my-4t=0，t≥1．△＞0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），y₁+y₂=4my，y₁y₂=-4t，$|{PQ}|=\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{（1+m{）^2}+16t}$，即可得出．

解答 解：（1）$\overline{MA}•\overline{MB}=0$⇒MA•MB=90°，
由抛物线的对称性，∴K_MA=1，
∴${l_{AM}}：\left\{{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{y^2}=2px}\end{array}}\right.$，
∴y²-2px+2p=0．
∴$\left.{\begin{array}{l}{△=4{p^2}-8p=0}\\{p＞0}\end{array}}\right\}$，∴p=2．
∴y²=4x．
（2）设PQ的方程为：x=my+t，代入抛物线方程可得：y²-4my-4t=0，t≥1．△＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4my，y₁y₂=-4t，
$|{PQ}|=\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{（1+m{）^2}+16t}$=$4\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{{m^2}+t}$，
∴m=0时，${|{PQ}|_{min}}=4\sqrt{t}$（t≥1）．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．