Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}+\frac{1}{3}{a_n}=1$（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₄（1-S_n+1）（n∈N⁺），${T_n}=\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求使${T_n}≥\frac{504}{1009}$成立的最小的正整数n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，结合等比数列的定义和通项公式计算即可得到所求；
（Ⅱ）运用等比数列的求和公式和对数的运算性质，可得b_n，再由裂项相消求和方法，求得T_n，解不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，S₁+$\frac{1}{3}$a₁=1，解得a₁=$\frac{3}{4}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1-$\frac{1}{3}$a_n-（1-$\frac{1}{3}$a_n-1），
即为a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，
由a₁+a₂+$\frac{1}{3}$a₂=1，
可得a₂=$\frac{3}{16}$，
则a_n=a₂•（$\frac{1}{4}$）^n-2=$\frac{3}{16}$•（$\frac{1}{4}$）^n-2=3•（$\frac{1}{4}$）ⁿ，对n=1也成立，
可得数列{a_n}的通项公式为a_n=3•（$\frac{1}{4}$）ⁿ；
（Ⅱ）b_n=log₄（1-S_n+1）=log₄[1-$\frac{\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n+1}}）}{1-\frac{1}{4}}$]
=log₄$\frac{1}{{4}^{n+1}}$=-（n+1），
${T_n}=\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，
${T_n}≥\frac{504}{1009}$成立，即为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$≥$\frac{504}{1009}$，
解得n≥2016，
则使${T_n}≥\frac{504}{1009}$成立的最小的正整数n的值为2016．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．