Question

16．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，则弦AB的长度为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}R$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}R$
• C． R
• D． $\sqrt{6}R$

Answer 1

分析 由题意画出图形，可知A-BCD是正四面体，设AB=a，结合球心为正四面体的中心通过求解直角三角形得答案．

解答 解：由条件可知A-BCD是正四面体，如图：
A、B、C、D为球上四点，则球心O在正四面体中心，设AB=a，
则过点B、C、D的截面圆半径$r={O_1}B=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
正四面体A-BCD的高$A{O_1}=\sqrt{{a^2}-{{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，则截面BCD与球心的距离$d=O{O_1}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a-R$，
∴${（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）^2}={R^2}-{（\frac{{\sqrt{6}}}{3}a-R）^2}$，解得$a=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$．
故选：A．

点评 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．