Question

6．已知抛物线${C_1}：{x^2}=4y$的焦点F也是椭圆${C_2}：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个焦点，C₁与C₂的公共弦的长为$2\sqrt{6}$．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）经过点（-1，0）作斜率为k的直线l与曲线C₂交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在实数k，使O在以AB为直径的圆外？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的焦点坐标（0，1），求得a和b的关系，由C₁与C₂的公共点的坐标为（±$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得$∠AOB＞\frac{π}{2}$，可知O恒在为AB直径的圆内，故不存在实数k．

解答 解：（1）由C₁：x²=4y知其焦点F的坐标为（0，1）．
因为F也是椭圆C₂的一个焦点，所以a²-b²=1．①
又C₁与C₂的公共弦的长为$2\sqrt{6}$，C₁与C₂都关于y轴对称，
且C₁的方程为x²=4y，
由此易知C₁与C₂的公共点的坐标为（±$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$），所以$\frac{9}{{4{a^2}}}+\frac{6}{b^2}=1$．②
联立①，②得a²=9，b²=8．
故C₂的方程为$\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{8}=1$．
（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），
联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{8{y^2}+9{x^2}=72}\\{y=kx+k}\end{array}}\right.$，
整理得 （9+8k²）x²+16k²x+8k²-72=0．
设A（x₁，kx₁+k），B（x₂，kx₂+k），
于是有x₁+x₂=$\frac{{-16{k^2}}}{{9+8{k^2}}}$，x₁x₂=$\frac{{8{k^2}-72}}{{9+8{k^2}}}$．
因为$\overrightarrow{OA}=（{{x_1}，k{x_1}+k}），\overrightarrow{OB}=（{{x_2}，k{x_2}+k}）$，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+（kx₁+k）（kx₂+k）=$（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+{k^2}（{{x_1}+{x_2}}）+{k^2}$=$\frac{{-55{k^2}-72}}{{9+8{k^2}}}＜0$．
所以$∠AOB＞\frac{π}{2}$．
可知O恒在为AB直径的圆内．
∴不存在实数k，使O在以AB为直径的圆外．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．