Question

20．设F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两焦点，若椭圆C上的点A（0，$\sqrt{3}$）到F₁，F₂两点的距离之和为4，
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C的短轴长和焦距．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出椭圆的a，b然后求解椭圆的标准方程．
（2）利用标准方程求解椭圆C的短轴长和焦距．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两焦点，若椭圆C上的点A（0，$\sqrt{3}$）到F₁，F₂两点的距离之和为4，可得b=$\sqrt{3}$，a=2，
则椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
短轴长$2\sqrt{3}$，长轴长为：4，则焦距2c=2．

点评 本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，是基础题．