Question

12．定义在区间（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x）满足tanx•f′（x）＜f（x），则下列选项中正确的是（　　）

• A． f（$\frac{π}{6}$）sin1＜$\frac{1}{2}$f（1）
• B． f（$\frac{π}{6}$）sin1=$\frac{1}{2}$f（1）
• C． f（$\frac{π}{6}$）sin1＞$\frac{1}{2}$f（1）
• D． 无法确定f（$\frac{π}{6}$）sin1与$\frac{1}{2}$f（1）的大小

Answer 1

分析 构造函数，利用函数的单调性判断求解即可．

解答 解：在区间（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x）满足tanx•f′（x）＜f（x），
可得：sinx•f′（x）-cosxf（x）＜0，
令h（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，可得h′（x）=$\frac{sinxf′（x）-cosxf（x）}{si{n}^{2}x}$＜0，所以函数h（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$是减函数；
所以$\frac{f（1）}{sin1}＜\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$，即f（$\frac{π}{6}$）sin1＞$\frac{1}{2}$f（1）．
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性的应用，考查构造法以及转化思想的应用，考查计算能力．