Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．
（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：AE⊥PF；
（Ⅲ）若二面角E-AF-B的余弦值等于$\frac{\sqrt{11}}{11}$，求$\frac{BF}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明EF∥PC即可得EF∥平面PAC．
（Ⅱ） 证明AE⊥平面PBC 即可得AE⊥PF．
（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），求出平面AEF的一个法向量为，由二面角E-AF-B的余弦值等于$\frac{\sqrt{11}}{11}$，求出m，即可

解答 解：（Ⅰ）证明：在△PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，
所以EF∥PC．…..（2分）
又因为EF?平面PAC，PC?平面PAC，…．（4分）
所以EF∥平面PAC．           …..（5分）
（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB．
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC．
PA∩AB=A
所以BC⊥平面PAB．  …..（6分）
由于AE?平面PAB，所以BC⊥AE．
由已知PA=AB，点E是PB的中点，所以AE⊥PB． …..（7分）
又因为PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC．…..（8分）
因为PF?平面PBC，所以AE⊥PF． …..（9分）
 （Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0）．
于是$\overrightarrow{AE}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{AF}=（m，2，0）$．
设平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（p，q，r），
由$\left\{{\begin{array}{l}{n•\overrightarrow{AE}=0}\\{n•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{q+r=0}\\{mp+2q=0}\end{array}}\right.$取p=2，则        q=-m，r=m，…．（10分）
得$\overrightarrow{n}$=（2，-m，m）．…..（11分）
由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD．
即平面ABF的一个法向量为$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$．                                    …..（12分）
根据题意，$\frac{{|{n•\overrightarrow{AP}}|}}{{|n|•|\overrightarrow{AP}|}}=\frac{{|{2m}|}}{{\sqrt{4+2{m^2}}×2}}=\frac{{\sqrt{11}}}{11}$，解得$m=\frac{2}{3}$．                      …..（13分）
由于BC=AB=2，所以$BF=\frac{1}{3}BC$．…..（14分）

点评 本题考查了线面平行、线线垂直的判定，及向量法求面面角，属于中档题．