Question

7．已知函数g（x）=|x|+2|x+2-a|（a∈R）．
（1）当a=3时，解不等式g（x）≤4；
（2）令f（x）=g（x-2），若f（x）≥1在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得g（x）=|x|+2|x-1|≤4，讨论当x≥1时，当0≤x＜1时，当x＜0时，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；
（2）求得f（x）=g（x-2）=|x-2|+2|x-a|（a∈R），讨论a=2，a＞2，a＜2，运用分段函数求出f（x），所以f（x）的最小值为f（2）或f（a），由恒成立思想可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）依题意得g（x）=|x|+2|x-1|≤4
当x≥1时，原不等式化为：x+2（x-1）≤4，解得1≤x≤2；
当0≤x＜1时，原不等式化为：x+2（1-x）≤4，解得0≤x＜1
当x＜0时，原不等式化为：-x+2（1-x）≤4，
解得-$\frac{2}{3}$≤x＜0．
综上可得，不等式的解集为{x|-$\frac{2}{3}$≤x≤2}；  …（4分）
（2）f（x）=g（x-2）=|x-2|+2|x-a|（a∈R）
a＞2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2+2a，x≤2}\\{-x+2a-2，2＜x＜a}\\{3x-2-2a，x≥a}\end{array}\right.$；
a=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+6，x≤2}\\{3x-6，x＞2}\end{array}\right.$；
a＜2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2+2a，x≤a}\\{x-2a+2，a＜x＜2}\\{3x-2-2a，x≥2}\end{array}\right.$；
所以f（x）的最小值为f（2）或f（a）；
则$\left\{\begin{array}{l}{f（a）≥1}\\{f（2）≥1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{|a-2|≥1}\\{2|a-2|≥1}\end{array}\right.$所以|a-2|≥1，
解得a≤1或a≥3．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用零点分区间方法去绝对值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及转化为求最小值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．