Question

2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{27}{2}$，则b=5．

Answer 1

分析 由C=2A，得到cosC=cos2A，cos2A利用二倍角的余弦函数公式化简，将cosA的值代入求出cosC的值，发现cosC的值大于0，由A和B为三角形的内角，得到A和B都为锐角，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的内角和定理及诱导公式化简cosB，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出cosB的值；利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{27}{2}$，由cosB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出关系式，将C=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，进而得到a的值，最后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答 解：∵C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$＞0，
∴cosC=cos2A=2cos²A-1=2×（$\frac{3}{4}$）²-1=$\frac{1}{8}$＞0，
∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∴cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）=$\frac{9}{16}$；
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{27}{2}$，
∴accosB=$\frac{27}{2}$，
∴ac=24，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{c}{sin2A}$=$\frac{c}{2sinAcosA}$，
∴a=$\frac{c}{2cosA}$=$\frac{2}{3}$c，
由$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}c}\\{ac=24}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴b²=a²+c²-2accosB=4²+6²-2×24×$\frac{9}{16}$=25，
∴b=5．
故答案为：5．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．