Question

10．已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数$f（x）=3+2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x$且f（A）=5．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换求得f（A）的解析式，由f（A）=5求得 sin（2A+$\frac{π}{6}$） 的值，从而求得2A+$\frac{π}{6}$的值，可得A的值．
（2）利用余弦定理，基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面积$\frac{1}{2}$bc•sinA的最大值．

解答 解：（1）由题意可得：$f（A）=3+2\sqrt{3}sinAcosA+2{cos^2}A=5$
=3+$\sqrt{3}$sin2A+cos2A+1=4+2sin（2A+$\frac{π}{6}$），
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∵A∈（0，π），
∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：$4={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$，
即4=b²+c²-bc≥bc（当且仅当b=c=2时“=”成立），即bc≤4，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}×4=\sqrt{3}$，
故△ABC面积的最大值是$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．