Question

5．已知$\overrightarrow a=（4，-2），\overrightarrow b=（cosα，sinα）$且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则$\frac{{{{sin}^3}α+{{cos}^3}α}}{sinα-cosα}$为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{9}{5}$
• C． 3
• D． $-\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，求出sinα=2cosα，代入$\frac{{{{sin}^3}α+{{cos}^3}α}}{sinα-cosα}$计算即可．

解答 解：$\overrightarrow a=（4，-2），\overrightarrow b=（cosα，sinα）$，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4cosα-2sinα=0，
∴sinα=2cosα，且cosα≠0；
∴$\frac{{{{sin}^3}α+{{cos}^3}α}}{sinα-cosα}$=$\frac{{8cos}^{3}α{+cos}^{3}α}{2cosα-cosα}$
=9cos²α
=$\frac{{9cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$
=$\frac{{9cos}^{2}α}{{4cos}^{2}α{+cos}^{2}α}$
=$\frac{9}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值，考查了同角三角函数的基本关系式，是基础题．