Question

20．已知f（x）=|ax-1|（a∈R），不等式f（x）≤2的解集是{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$}．
（1）求a的值；
（2）解不等式f（x）+f（$\frac{x}{2}$-1）≥5．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|ax-1|≤2，即有-1≤ax≤3，由已知不等式的解集可得a=2；
（2）原不等式即为|2x-1|+|x-3|≥5，讨论当x≥3时，当x≤$\frac{1}{2}$时，当$\frac{1}{2}$＜x＜3时，去掉绝对值，解不等式求并集即可得到所求解集．

解答 解：（1）不等式f（x）≤2的解集是{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$}，
即为|ax-1|≤2，即有-1≤ax≤3，
则a＞0，且a=2；
（2）f（x）+f（$\frac{x}{2}$-1）≥5，
即为|2x-1|+|x-3|≥5，
当x≥3时，2x-1+x-3≥5，即为3x≥9，可得x≥3；
当x≤$\frac{1}{2}$时，1-2x+3-x≥5，即为-3x≥1，可得x≤-$\frac{1}{3}$；
当$\frac{1}{2}$＜x＜3时，2x-1+3-x≥5，即为x≥3，可得x∈∅．
综上可得，x≥3或x≤-$\frac{1}{3}$．
即解集为{x|x≥3或x≤-$\frac{1}{3}$}．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的含义和零点分区间，考查不等式的解法，以及运算能力和转化思想的运用，属于中档题．