Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）经过点$E（\sqrt{3}，1）$，离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上一动点，点A（3，0）与点P的垂直平分线交y轴于点B，求|OB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）离心率为$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，可得${c^2}=\frac{2}{3}{a^2}$，故${b^2}=\frac{1}{3}{a^2}$，椭圆C为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{3}{a^2}}}=1$，把点$E（\sqrt{3}，1）$代入椭圆方程，解出即可得出．
（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x₀，y₀）（y₀≠0），利用中点坐标公式可得：线段AP的中点D坐标，由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，可得直线l的斜率为-$\frac{1}{{k}_{AP}}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，利用直线l的方程可得B，又$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}+\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，得${x}_{0}^{2}$=6-3${y}_{0}^{2}$，可得|OB|，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）离心率为$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴${c^2}=\frac{2}{3}{a^2}$，故${b^2}=\frac{1}{3}{a^2}$，
椭圆C为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{3}{a^2}}}=1$，
把点$E（\sqrt{3}，1）$代入得a²=6，b²=2，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（5分）
（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x₀，y₀）（y₀≠0），
则线段AP的中点D的坐标为$（\frac{{x}_{0}+3}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$，且直线AP的斜率k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$，…（7分）
由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，
故直线l的斜率为-$\frac{1}{{k}_{AP}}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，且过点D，
所以直线l的方程为：$y-\frac{{y}_{0}}{2}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$$（x-\frac{{x}_{0}+3}{2}）$，…（9分）
令x=0，得y=$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}$，则B$（0，\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}）$，
由$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}+\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，得${x}_{0}^{2}$=6-3${y}_{0}^{2}$，化简，得B$（0，\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}）$．…（11分）
所以|OB|=$|\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}|$=|y₀|+$\frac{3}{2|{y}_{0}|}$≥2$\sqrt{|{y}_{0}|•\frac{3}{2|{y}_{0}|}}$=$\sqrt{6}$．…（13分）
当且仅当|y₀|=$\frac{3}{2|{y}_{0}|}$，即y₀=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$时等号成立．
所以|OB|的最小值为$\sqrt{6}$．…（14分）

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．