Question

9．已知等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，其前n项和为S_n，若直线y=a₁x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y-d=0垂直，则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100项的和为$\frac{100}{101}$．

Answer 1

分析 直线y=a₁x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y-d=0垂直，可得${a}_{1}×（-\frac{1}{2}）$=-1，$\frac{d}{2}$=1，解得a₁，d．再利用等差数列的前n项和公式与“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵直线y=a₁x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y-d=0垂直，
∴${a}_{1}×（-\frac{1}{2}）$=-1，$\frac{d}{2}$=1，
解得a₁=2，d=2．
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100项的和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$
=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．
故答案为：$\frac{100}{101}$．

点评 本题考查了“裂项求和方法”、等差数列通项公式及其求和公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．