Question

5．对数列{a_n}，{b_n}，若区间[a_n，b_n]满足下列条件：
①$[{{a_{n+1}}，{b_{n+1}}}]?[{{a_n}，{b_n}}]（{n∈{N^*}}）$；
②$\lim_{n→+∞}（{{b_n}-{a_n}}）=0$；则[a_n，b_n]为区间套，
下列可以构成区间套的数列是（　　）

• A． ${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}，{b_n}={（{\frac{2}{3}}）^n}$
• B． ${a_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}，{b_n}=\frac{n}{{{n^2}+1}}$
• C． ${a_n}=\frac{n-1}{n}，{b_n}=1+{（{\frac{1}{3}}）^n}$
• D． ${a_n}=\frac{n+3}{n+2}，{b_n}=\frac{n+2}{n+1}$

Answer 1

分析 直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．

解答 解：由题意，对于A，${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}，{b_n}={（{\frac{2}{3}}）^n}$，a_n+1＜a_n，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以A不正确；
对于B，a_n+1＜a_n，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以B不正确；
对于C，∵a_n+1＞a_n，b_n＞b_n+1，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）成立，并且$\lim_{n→+∞}（{{b_n}-{a_n}}）=0$，所以C正确；
对于D，∵a_n+1＜a_n，b_n＞b_n+1，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以D不正确；
故选：C．

点评 本题考查数列的极限，数列的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．