Question

17．设函数f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}$，其中n∈N^*，若有f（n）＞$\frac{a}{24}$都成立．
（1）求正整数a的最大值a₀；
（2）证明不等式f（n）＞$\frac{a_0}{24}$（其中n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（1）取得最小值，即有f（1）＞$\frac{a}{24}$，解不等式可得正整数a的最小值；
（2）运用数学归纳法证明：$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}$＞$\frac{25}{24}$．注意验证n=1，不等式成立；证明n=k+1，不等式也成立，注意运用假设和不等式的性质．

解答 解：（1）函数f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}$，其中n∈N^*，若有f（n）＞$\frac{a}{24}$都成立，
当n=1时，$\frac{1}{1+1}$+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{3+1}$＞$\frac{a}{24}$，即$\frac{26}{24}$＞$\frac{a}{24}$，
即有a＜26，正整数a的最大值a₀=25；
（2）下面运用数学归纳法证明：$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}$＞$\frac{25}{24}$．
①当n=1时，$\frac{1}{1+1}$+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{3+1}$＞$\frac{25}{24}$成立；
②假设当n=k时，不等式成立，即$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{3k+1}$＞$\frac{25}{24}$，
则当n=k+1时，$\frac{1}{（k+1）+1}$+$\frac{1}{（k+1）+2}$+…+$\frac{1}{3（k+1）+1}$
=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{1}{k+1}$
＞$\frac{25}{24}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{k+1}$，
由$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+4}$=$\frac{6（k+1）}{9{k}^{2}+18k+8}$＞$\frac{2}{3（k+1）}$，
可得$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{k+1}$＞0，
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①②可得，对一切的正整数n，$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}$＞$\frac{25}{24}$．
即：对一切的正整数n，f（n）＞$\frac{a_0}{24}$．

点评 本题考查数列不等式成立及证明，注意运用恒成立思想和数学归纳法，考查推理和运算能力，属于中档题．