Question

8．△ABC的顶点C（x₀，y₀）的坐标满足不等式x²+y²≤8+2y，y≥3，边AB在x轴上，已知点Q（0，1）与直线AC及BC的距离均为1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 设出过C的直线方程，利用点Q（0，1）与直线AC及BC的距离均为1，求出直线AC及BC的斜率关系，求出两点坐标，得到AB距离，表示三角形的面积，然后判断C的位置求解最值．

解答 解：设过C的直线的斜率为k，则直线方程为：y-y₀=k（x-x₀），点Q（0，1）与直线AC及BC的距离均为1，
可得：$\frac{|1+k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，整理可得（x₀²-1）k²+2k（1-y₀）x+y₀²-2y₀=0，
可得${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{2{x}_{0}（{y}_{0}-1）}{{{x}_{0}}^{2}-1}$，${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-2{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-1}$，令y=0，
可得${x}_{A}=-\frac{{y}_{0}}{{k}_{1}}+{x}_{0}$，${x}_{B}=-\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}+{x}_{0}$，|x_A-x_B|=$|\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}-\frac{{y}_{0}}{{k}_{1}}|$=${y}_{0}|\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{{k}_{1}{k}_{2}}|$=$\frac{|{{x}_{0}}^{2}-1|\sqrt{\frac{4{{x}_{0}}^{2}（{{y}_{0}-1）}^{2}}{（{{x}_{0}}^{2}-1）^{2}}-\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-2{y}_{0}）（{{x}_{0}}^{2}-1）}{{{（x}_{0}}^{2}-1）^{2}}}}{{y}_{0}-2}$=$\frac{2\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-2{y}_{0}}}{{y}_{0}-2}$．
S=$\frac{1}{2}|{x}_{A}-{x}_{B}|•{y}_{0}$=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{（y}_{0}-1）}^{2}-1}•\frac{{y}_{0}}{{y}_{0}-2}$；
$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-1）^{2}-1}$表示C与（0，1）的距离最远，表达式取得最大值，$\frac{{y}_{0}}{{y}_{0}-2}$是增函数，
∴S≤$\sqrt{9-1}$$•\frac{3}{3-2}$=6$\sqrt{2}$，此时y₀=3．

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，函数与方程的应用，函数的最值的求解，点到直线的距离公式公式，三角形面积的最值，考查转化思想以及计算能力．