Question

2．函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＜0，试分析判断y=f（x）的单调性（不需证明），并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质，f（0）=0，求解k即可．
（2）判断函数的单调性，利用函数的单调性，转化不等式利用函数恒成立，通过判别式求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1-（k-1）=0，∴k=2．
（2）f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴$a-\frac{1}{a}＜0$，又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，
∵y=a^x单减，y=a^-x单增，故f（x）在R上单减，
故不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，
解得-3＜t＜5．

点评 本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，函数恒成立条件的转化，考查计算能力．