Question

9．设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点F作直线且交C于A，B两点，O是坐标原点，△OAB的面积为2$\sqrt{2}$，则|AB|=（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 由抛物线的焦点坐标，设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，求得k的值，即可求得|AB|．

解答 解：根据题意，抛物线y²=4x的焦点为F（1，0）．
设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去x，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由根与系数的关系可得y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．
丨AB丨=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$
O到直线AB的距离d=$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$×$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
解得：k=1，
∴丨AB丨=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$=8，
故选B．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中档题．