Question

16．已知向量$\vec a=（{3，-2}）$，$\vec b=（{4，6}）$，若向量$2\vec a+\vec b$与向量$\vec b$的夹角为θ，则cosθ=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根据条件可先求出$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，进而可求出$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}$，$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$以及$|\overrightarrow{b}|$的值，这样即可求出cosθ的值，从而选出正确答案．

解答 解：$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（10，2）$，$\overrightarrow{b}=（4，6）$；
∴$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=2\sqrt{26}$，$|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{13}$，$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}=52$；
∴$cosθ=\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{b}|}=\frac{52}{2\sqrt{26}•2\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选C．

点评 考查向量坐标的加法和数乘运算，根据向量坐标求向量长度，以及向量数量积的坐标运算．