Question

10．已知函数f（x）=cos（ωx-$\frac{π}{3}$）-cosωx（x∈R，ω为常数，且1＜ω＜2），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1．f（$\frac{3}{5}$A）=$\frac{1}{2}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$），由关于直线x=π对称，可得$ω=k+\frac{2}{3}（k∈Z）$，结合范围ω∈（1，2），可求k，ω，利用周期公式即可计算得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可求$f（\frac{3}{5}A）=sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，可求A，由余弦定理，基本不等式可求bc≤1，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）$f（x）=cos（ωx-\frac{π}{3}）-cosωx=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx-\frac{1}{2}cosωx=sin（ωx-\frac{π}{6}）$，（3分）
由函数f（x）的图象关于直线x=π对称，可得：$ωπ-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
∴$ω=k+\frac{2}{3}（k∈Z）$，
∵ω∈（1，2），
∴$k=1，ω=\frac{5}{3}$，（5分）
∴$f（x）=sin（\frac{5}{3}x-\frac{π}{6}）$，则函数f（x）最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{5}{3}}}=\frac{6π}{5}$，（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=sin（\frac{5}{3}x-\frac{π}{6}）$，
∴$f（\frac{3}{5}A）=sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，（7分）
∵0＜A＜π，
∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，$A=\frac{π}{3}$（9分）
由余弦定理及a=1，得：$1={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}≥2bc-bc=bc$，即bc≤1，（11分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．（12分）
方法不一样，只要过程正确，答案准确给满分．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．