Question

3．在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}，SB=2\sqrt{2}$．
（1）证明：面SBC⊥面SAC；
（2）求点A到平面SCB的距离；
（3）求二面角A-SB-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用SA⊥AB，SA⊥AC，推出SA⊥平面ABC，得到BC⊥SA，结合BC⊥AC，证明BC⊥面SAC，然后说明面SBC⊥面SAC．
（2）过点A作AE⊥SC交SC于点E，推出AE为点A到平面SCB的距离，然后在RT△SAC中，求解即可．
（3）过点C作CM⊥AB交AB于点M，过点M作MN⊥SB交SB于点N，说明∠CMN为所求二面角的平面角，在RT△ABC中，求解CM，在RT△SBC中，求解CN，然后求解二面角A-SB-C的平面角的正弦值．

解答 （1）证明：∵SA⊥AB，SA⊥AC，且AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC，
∵BC?面ABC，∴BC⊥SA，
∵BC⊥AC，AC∩AS=A，∴BC⊥面SAC，∴面SBC⊥面SAC．
（2）解：过点A作AE⊥SC交SC于点E，
∵面SBC⊥面SAC，且面SBC∩面SAC=SC，
∴AE⊥面SBC，即AE为点A到平面SCB的距离，
在RT△SAC中，$AE=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，即点A到平面SCB的距离为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

（3）解：过点C作CM⊥AB交AB于点M，过点M作MN⊥SB交SB于点N，
∵SA⊥平面ABC，∴面SAB⊥面ABC，∴CM⊥面SAB，
∴CM⊥SB，MN∩CM=M，∴SB⊥面CMN，
∴∠CMN为所求二面角的平面角，
在RT△ABC中，$CM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，在RT△SBC中，$CN=\frac{{\sqrt{30}}}{4}$，
在RT△CMN中，$sin∠CNM=\frac{CM}{CN}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
即二面角A-SB-C的平面角的正弦值$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．