Question

11．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$|a|=2，|b|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{b}⊥（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$即可得到$\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=0$，进行数量积的运算便可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵$\overrightarrow{b}⊥（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$；
∴$\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$2\sqrt{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+3$
=0；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的取值范围为[0，π]，
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{5π}{6}$．
故选：D．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围．