Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（$\sqrt{2}$，1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，若动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$，试探究，是否存在两个定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？若存在，求F₁，F₂的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆经过点（$\sqrt{2}$，1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，得x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，由M，N都在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，设${k}_{OM}•{k}_{ON}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，得到点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$上的点，由此能求出F₁，F₂的坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（$\sqrt{2}$，1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，得x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M，N都在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，
∴${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4，{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4$，
∴${x}^{2}+2{y}^{2}=（{{x}_{1}}^{2}+4{x}_{1}{x}_{2}+4{{x}_{2}}^{2}）+2$（${{y}_{1}}^{2}+4{y}_{1}{y}_{2}+4{{y}_{2}}^{2}$）
=（${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}$）+4（${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}$）+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20+4（x₁x₂+2y₁y₂），
设${k}_{OM}•{k}_{ON}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=20，∴点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$上的点，
∴由椭圆的定义知存在点F₁，F₂，满足|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$为定值，
又∵|F₁F₂|=2$\sqrt{20-10}$=2$\sqrt{10}$，
∴F₁，F₂的坐标分别为F₁（-$\sqrt{10}$，0），F₂（$\sqrt{10}$，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查焦点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量的数量积的合理运用．