Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），A（$\frac{1}{3}$，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． （2k-$\frac{2}{3}$，2k+$\frac{4}{3}$），k∈Z
• B． （2kπ-$\frac{2}{3}$π，2kπ+$\frac{4}{3}$π），k∈Z
• C． （4k-$\frac{2}{3}$，4k+$\frac{4}{3}$），k∈Z
• D． （4kπ-$\frac{2}{3}$π，4kπ+$\frac{4}{3}$π），k∈Z

Answer 1

分析 由题意可得${（2\sqrt{3}）}^{2}$+${（\frac{T}{2}）}^{2}$=4²，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），
A（$\frac{1}{3}$，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，
∴${（2\sqrt{3}）}^{2}$+${（\frac{T}{2}）}^{2}$=4²，即12+$\frac{{π}^{2}}{{ω}^{2}}$=16，求得ω=$\frac{π}{2}$．
再根据$\frac{π}{2}$•$\frac{1}{3}$+φ=kπ，k∈Z，可得φ=-$\frac{π}{6}$，∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{2}{3}$π≤x≤4kπ+$\frac{4}{3}$π，
故f（x）的单调递增区间为（4k-$\frac{2}{3}$，4k+$\frac{4}{3}$），k∈Z，
故选：C．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．