Question

12．已知一个正△ABC的边长为6cm，点D到△ABC各顶点的距离都是4cm．求：
（1）点D到△ABC所在平面的距离；
（2）DB与平面ABC所成角的余弦值；
（3）二面角D-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）作DO⊥平面ABC，O为垂足，则O是等边△ABC的重心，取BC中点E，连结AE，OA，利用勾股定理能求出点D到△ABC所在平面的距离．
（2）由DO⊥平面ABC，知∠DBO是DB与平面ABC所成角，由此能求出DB与平面ABC所成角的余弦值．
（3）由已知得AE⊥BC，DE△BC，从而∠AED是二面角D-BC-A的平面角，由此能求出二面角D-BC-A的余弦值．

解答 解：（1）作DO⊥平面ABC，O为垂足，
∵正△ABC的边长为6cm，点D到△ABC各顶点的距离都是4cm，
∴O是等边△ABC的重心，取BC中点E，连结AE，OA，
由题意得AO=$\frac{2}{3}AE$=$\frac{2}{3}\sqrt{36-9}$=2$\sqrt{3}$，
∴点D到△ABC所在平面的距离DO=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{16-12}$=2（cm）．
（2）∵DO⊥平面ABC，∴∠DBO是DB与平面ABC所成角，
∵BO=AO=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠DBO=$\frac{BO}{DB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DB与平面ABC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）∵AB=AC=BC=6，DB=DC=4，E是BC中点，
∴AE⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AED是二面角D-BC-A的平面角，
AE=3$\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{D{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$，
∴cos∠AED=$\frac{A{E}^{2}+D{E}^{2}-A{D}^{2}}{2•AE•DE}$=$\frac{27+7-16}{2•3\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=$\frac{18}{6\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角D-BC-A的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查线面角、二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意合理地转化空间问题为平面问题，注意空间思维能力的培养．