Question

7．已知函数f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，则关于x的不等式f（2x+3）+f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-3，+∞）
• B． （-∞，-3）
• C． （-∞，-1）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，对于f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，分析其奇偶性与单调性，可得f（x）为奇函数且增函数，从而原不等式可以转化为2x+3＞-x，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，对于f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，
其定义域为R，关于原点对称，f（-x）=2017^-x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-2017^x
=-（2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x）=-f（x）；
即函数f（x）为奇函数；
对于f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，分析易得其为增函数；
f（2x+3）+f（x）＞0?f（2x+3）＞-f（x）?f（2x+3）＞f（-x）?2x+3＞-x，
解可得x＞-1；
即不等式f（2x+3）+f（x）＞0的解集是（-1，+∞），
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性．