Question

2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2^x+x-m（m为常数）．
（1）求常数m的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若对于任意x∈[-3，-2]，都有f（k•4^x）+f（1-2^x+1）＞0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）为定义在R上的奇函数，从而有f（0）=0，进而可求出m=1；
（2）根据（1）得到，x≥0时，f（x）=2^x+x-1，根据f（x）为奇函数，可设x＜0，-x＞0，这样便可求出x＜0时的解析式，从而便可得出f（x）的解析式；
（3）容易判断x≥0时，f（x）为增函数，进而得出x＜0时，f（x）为增函数，而f（0）=0，从而可得出f（x）在R上单调递增，这样便可由f（k•4^x）+f（1-2^x+1）＞0得出$k＞\frac{-1+{2}^{x+1}}{{4}^{x}}$，可设$y=\frac{-1+{2}^{x+1}}{{4}^{x}}，x∈[-4，-2]$，化简得到$y=-[（\frac{1}{2}）^{x}]^{2}+2•（\frac{1}{2}）^{x}$，而配方即可求出该函数在[-4，-2]上的最大值，从而得出k的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，且定义域为R；
∴f（0）=0；
∵当x≥0时，f（x）=2^x+x-m（m为常数）；
∴f（0）=1-m，∴1-m=0；
∴m=1；
（2）由（1）知，m=1；
∴当x≥0时，f（x）=2^x+x-1；
设x＜0，则-x＞0，且f（x）为奇函数，所以：
f（-x）=2^-x-x-1=-f（x）；
∴f（x）=-2^-x+x+1；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}+x-1，x≥0\\-{2^{-x}}+x+1，x＜0\end{array}\right.$；
（3）因为当x变大时，2^x变大，x-1变大，所以2^x+x-1的值也变大；
所以f（x）在[0，+∞）上是增函数且左端点为原点；
因为，f（x）是奇函数，且f（0）=0；
所以f（x）在（-∞，0）上也是增函数，且右端点是原点；
所以f（x）在R上是增函数；
∵f（x）是奇函数；
∴f（k•4^x）+f（1-2^x+1）＞0等价于f（k•4^x）＞-f（1-2^x+1），等价于f（k•4^x）＞f（-1+2^x+1）；
∵f（x）在R上是增函数；
∴f（k•4^x）＞f（-1+2^x+1）等价于k•4^x＞-1+2^x+1；
∵4^x＞0∴k•4^x＞-1+2^x+1等价于$k＞\frac{{-1+{2^{x+1}}}}{4^x}$；
∴f（k•4^x）+f（1-2^x+1）＞0对x∈[-3，-2]恒成立等价于$k＞{（\frac{{-1+{2^{x+1}}}}{4^x}）_{max}}$；
设y=$\frac{{-1+{2^{x+1}}}}{4^x}，x∈[-3，-2]$；
∴$y=\frac{{-1+{2^{x+1}}}}{4^x}=-\frac{1}{4^x}+\frac{2}{2^x}=-{[{（\frac{1}{2}）^x}]^2}+2{（\frac{1}{2}）^x}$=$-[（\frac{1}{2}）^{x}-1]^{2}+1$；
x∈[-3，-2]，∴$（\frac{1}{2}）^{x}∈[4，8]$；
∴$（\frac{1}{2}）^{x}=4$时，y取最大值-8；
∴k＞-8；
即实数k的取值范围为（-8，+∞）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，根据奇函数定义求函数解析式的方法，指数函数和一次函数的单调性，以及增函数的定义，分段函数单调性的判断方法，配方法求函数最大值的应用．