Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若 

m

=(1-

2c

b

，tanA)，

n

=(1，

1

tanB

)，且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=

3

，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量垂直的性质可得

m

•

n

=0，由此可得cosA=

1

2

，从而求得角A的值．
（Ⅱ）由条件利用正弦定理可得b=2sinx，c=2sin(

2π

3

-x) 可得 y=2

3

sin（x+

π

6

）+

3

．再根据x的范围求出y的最大值．

解答：解：（Ⅰ） 由题意可得

m

•

n

=1-

2c

b

+

tanA

tanB

=1-

2sinC

sinB

+

sinAcosB

cosAsinB

=

cosAsinB-2sinCcosA+sinAcosB

cosAsinB

=

sin(A+B)-2sinCcosA

cosAsinB

=

sinC-2sinCcosA

cosAsinB

=0．
∴sinC-2sinCcosA=0，
∴cosA=

1

2

，
∴△ABC中，A=

π

3

． …（6分）
（Ⅱ）由a=

3

，角B的大小为x，A=

π

3

及正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

=

3

sin  π 3

=2，可得b=2sinx，c=2sin(

2π

3

-x)，
∴三角形的周长 y=2sinx+2sin（

2π

3

-x）+

3

=2

3

sin（x+

π

6

）+

3

．
由于0＜x＜

2π

3

，∴x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴当 x+

π

6

=

π

2

，即 x=

π

3

 时，y_max=3

3

．           …（12分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，两个向量垂直的性质，属于中档题．