Question

5．已知曲线C：$\frac{x|x|}{{a}^{2}}$-$\frac{y|y|}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），下列叙述中正确的是（　　）

• A． 垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点
• B． 直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点
• C． 曲线C关于直线y=-x对称
• D． 若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）为曲线C上任意两点，则有$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0

Answer 1

分析 对x，y的符号进行讨论，得出曲线的图象，根据椭圆与双曲线的性质进行判断．

解答 解：当x＞0，y＞0时，曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，渐近线方程为y=$\frac{b}{a}x$．
当x＜0，y＞0时，曲线C方程为-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，方程无解．
当x＜0，y＜0时，曲线C方程为$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}=1$，渐近线方程为y=$\frac{b}{a}x$．
当x＞0，y＜0时，曲线C方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
作出曲线C的图象如图所示：
显然y是关于x的函数，故A错误．
由图象可知当直线y=kx+m经过点（a，0）且k＞$\frac{b}{a}$时，直线与曲线C有三个交点．
∵a≠b，∴曲线C不关于直线y=-x对称，故C错误．
由图象可知y=f（x）为增函数，∴k${\;}_{{P}_{1}{P}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，故D错误．
综上，故选B．

点评 本题考查了曲线的方程的含义，椭圆与双曲线的性质，属于中档题．