Question

17．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长为20，离心率为$\frac{2}{5}$，则椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{100}$+$\frac{{x}^{2}}{84}$=1．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得2a=20，即a=10，再由离心率公式和a，b，c的关系，解得b，进而得到椭圆方程．

解答 解：设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得2a=20，即a=10，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{5}$，可得c=4，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{100-16}$=2$\sqrt{21}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{100}$+$\frac{{x}^{2}}{84}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{100}$+$\frac{{x}^{2}}{84}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．