Question

7．在等腰直角△ABC中，$∠A=\frac{π}{2}，AB=AC=1$，M是斜边BC上的点，满足$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BM}$
（1）试用向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$来表示向量$\overrightarrow{AM}$；
（2）若点P满足$|{\overrightarrow{AP}}|=1$，求$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BM}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，直接利用向量加法的三角形法则得答案；
（2）设$＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞=θ$，由题意求得$|\overrightarrow{BC}|$，然后直接展开向量数量积求得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BM}$的取值范围．

解答 解：（1）如图，∵$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BM}$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
（2）设$＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞=θ$，
∵$∠A=\frac{π}{2}，AB=AC=1$，
∴$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{2}$，
则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}|{\overrightarrow{AP}}|•|{\overrightarrow{BC}}|cosθ∈[{-\frac{{\sqrt{2}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{3}}]$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法与减法的三角形法则，是中档题．