Question

17．已知函数f_t（x）=（x-t）²-t，t∈R，设a＜b，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{a}（x），{f}_{a}（x）＜{f}_{b}（x）}\\{{f}_{b}（x），{f}_{a}（x）≥{f}_{b}（x）}\end{array}\right.$，若函数y=f（x）+x+a-b有四个零点，则b-a的取值范围为$（2+\sqrt{5}，+∞）$．

Answer 1

分析 解方程f_a（x）=f_b（x）得交点P（$\frac{a+b-1}{2}$，${（\frac{b-a-1}{2}）}^{2}$-a），函数f（x）的图象与直线l：y=-x+b-a有四个不同的交点，由图象知，点P在l的上方，故$\frac{a+b-1}{2}$+${（\frac{b-a-1}{2}）}^{2}$-a-（b-a）＞0，由此解得b-a的取值范围．

解答 解：作函数f（x）的图象，解方程f_a（x）=f_b（x）
得x=$\frac{a+b-1}{2}$，
即交点P（$\frac{a+b-1}{2}$，${（\frac{b-a-1}{2}）}^{2}$-a），
又函数f（x）+x+a-b有四个零点，
即函数f（x）的图象与直线l：y=-x+b-a
有四个不同的交点．
由图象知，点P在l的上方，所以，
$\frac{a+b-1}{2}$+${（\frac{b-a-1}{2}）}^{2}$-a-（b-a）＞0，
解得b-a＞2+$\sqrt{5}$．
故答案为：$（2+\sqrt{5}，+∞）$

点评 本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．