Question

2．已知函数f（x）=4lnx-x+$\frac{3}{x}$，g（x）=2x²-bx+20，若对于任意x₁∈（0，2），都存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数b的取值范围是[13，+∞）．

Answer 1

分析 首先对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的最值问题，根据题意对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，对g（x）的图象进行讨论根据对称轴研究g（x）的最值问题，从而进行求解．

解答 解：∵函数f（x）=4lnx-x+$\frac{3}{x}$，（x＞0）
∴f′（x）=$\frac{4}{x}$-1-$\frac{3}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（x-3）}{{x}^{2}}$，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；
若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；
f（x）在x∈（0，2）上有极值，
f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）_min=f（1）=-1+3=2；
∵g（x）=2x²-bx+20=2（x-$\frac{b}{4}$）²+4-$\frac{{b}^{2}}{8}$，对称轴x=$\frac{b}{4}$，x∈[1，2]，
当$\frac{b}{4}$＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）_min=g（1）=2-b+20=22-b；
当1＜$\frac{b}{4}$＜2时，g（x）在x=$\frac{b}{4}$处取最小值g（x）_min=g（$\frac{b}{4}$）=20-$\frac{{b}^{2}}{8}$；
当$\frac{b}{4}$＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）_min=g（2）=8-2b+20=28-2b；
∵对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
当$\frac{b}{4}$＜1时，2≥22-b，解得b≥20，故b无解；
当$\frac{b}{4}$＞2时，2≥28-2b，解得b≥13，
综上：b≥13，
故答案为：[13，+∞）．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，此题还涉及函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上．