Question

17．已知两个单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为150°，$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{5-2\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，得$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{{e}_{2}}=2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$，求其模的平方，然后开方得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{{e}_{2}}=2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$，
又向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为单位向量且夹角为150°，
∴$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}=|2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}=4|\overrightarrow{{e}_{1}}{|}^{2}+4|\overrightarrow{{e}_{1}}||\overrightarrow{{e}_{2}}|cos150°+|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}$
=4+4×$（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+1$=$5-2\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{5-2\sqrt{3}}$．
故答案为：$\sqrt{5-2\sqrt{3}}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是中档题．